Ключевые слова
дискретизация
сферический слой
геодинамо
Как цитировать
Аннотация
в статье рассматривается построение консервативной разностной схемы для уравнения магнитной индукции в сферических координатах. В основе подхода лежит интегральная форма закона Фарадея, применяемая к граням контрольных объемов. Дискретизация выполнена методом контрольного объема с использованием полностью неявной схемы и алгоритма переноса ограничения (CTA). В статье приводится вычисление метрических параметров расчетной сетки и коэффициентов дискретного аналога уравнения магнитной индукции в сферических координатах. Разобран специальный случай аппроксимации радиальной составляющей напряженности электрического поля на ребрах контрольного объема, лежащих на полярной оси (θ = 0,π). Разработанная численная схема реализована в авторском программном комплексе CVMHD для моделирования магнитогидродинамических течений и гидромагнитного динамо в сферических слоях.
Литература
Zhang W., Jardin S., Ma Z., Kleiner A., Zhang H. Linear and Nonlinear Benchmarks Between the CLT Code and the M3D-C1 Code for the 2/1 Resistive Tearing Mode and the 1/1 Resistive Kink Mode. Computer Physics Communications. 2021;269:108134. DOI: 10.1016/j.cpc.2021.108134.
Brandenburg A., Johansen A., Bourdin P. A., Dobler W., Lyra W. et al. The Pencil Code, a Modular MPI Code for Partial Differential Equations and Particles: Multipurpose and Multiuser-Maintained. J. Open Source Softw. 2021;6(58):2807. DOI: 10.21105/joss.02807.
Mignone A., Bodo G., Massaglia S., Matsakos T., Tesileanu O., Zanni C., Ferrari A. PLUTO: A Numerical Code for Computational Astrophysics. Astrophys. J. Suppl. Ser. 2007;170:228–242. DOI: 10.1086/513316.
Rossazza M., Mignone A., Bugli M., Truzzi S., Riha L., Panoc T., Vysocky O., Shukla N., Romeo A., Berta V. The PLUTO Code on GPUs: A First Look at Eulerian MHD Methods. Astronomy and Computing. 2026;5:101076. DOI: 10.1016/j.ascom.2026.101076.
Liska M. T. P., Chatterjee K., Issa D. et al. A New GPU-Accelerated GRMHD Code for Exascale Computing with 3D Adaptive Mesh Refinement and Local Adaptive Time Stepping. Astrophys. J. Suppl. Ser. 2022;263(2):26. DOI: 10.3847/1538-4365/ac9966.
Burns K. J., Vasil G. M., Oishi J. S. et al. Dedalus: A Flexible Framework for Numerical Simulations with Spectral Methods. Phys. Rev. Res. 2020;2:023068. DOI: 10.1103/PhysRevResearch.2.023068.
Matsumoto Y., Asahina Y., Kudoh Y. et al. Magnetohydrodynamic Simulation Code CANS+: Assessments and Applications. Publ. Astron. Soc. Japan. 2019;71(4):83. DOI: 10.1093/pasj/psz064.
Gyenge N., Griffiths M. K., Erdelyi R. MHD Code Using Multi Graphical Processing Units: SMAUG+.´ Advances in Space Research. 2018;61(2):683–690. DOI: 10.1016/j.asr.2017.10.027.
Matsui H. et al. Performance Benchmarks for a Next Generation Numerical Dynamo Model. Geochem. Geophys. Geosyst. 2016;17(5):1586–1607. DOI: 10.1002/2015GC006159.
Siriano S., Melchiorri L., Pignatiello S., Tassone A. A Multi-Region and a Multiphase MHD OpenFOAM Solver for Fusion Reactor Analysis. Fusion Engineering and Design. 2024;200:114216. DOI: 10.1016/j.fusengdes.2024.114216.
Feng J., Chen H., He Q., Ye M. Further Validation of Liquid Metal MHD Code for Unstructured Grid Based on OpenFOAM. Fusion Engineering and Design. 2015;100:260–264. DOI: 10.1016/j.fusengdes.2015.06.059.
Rives R., Batet L. Numerical Investigation of 3D MHD Pressure Drop in a Prototypical Fusion Blanket Manifold Using OpenFOAM. Fusion Engineering and Design. 2026;224:115592. DOI: 10.1016/j.fusengdes.2025.115592.
Vencels J., R˚aback P., Geza V. EOF-Library: Open-Source Elmer FEM and OpenFOAM Coupler forˇ Electromagnetics and Fluid Dynamics. SoftwareX. 2019;9:68–72. DOI: 10.1016/j.softx.2019.01.007.
Ding Q., Mao S., Xi R. Second Order, Fully Decoupled, Linear, Exactly Divergence-Free and Unconditionally Stable Discrete Scheme for Incompressible MHD Equations. Computers & Mathematics with Applications. 2024;169:195–204. DOI: 10.1016/j.camwa.2024.06.018.
Cai W., Wu J., Xin J. Divergence-Free H(div)-Conforming Hierarchical Bases for Magnetohydrodynamics (MHD). Commun. Math. Stat. 2013;1:19–35. DOI: 10.1007/s40304-0130003-910.1007/s40304-013-0003-9.
Fu P., Li F., Xu Y. Globally Divergence-Free Discontinuous Galerkin Methods for Ideal Magnetohydrodynamic Equations. J. Sci. Comput. 2018;77:1621–1659. DOI: 10.1007/s10915-0180750-6.
Rossmanith J. A. An Unstaggered, High-Resolution Constrained Transport Method for Magnetohydrodynamic Flows. SIAM J. Sci. Comput. 2006;28:1766–1797. DOI: 10.1137/050627022.
Iskakov A. B., Descombes S., Dormy E. An Integro-Differential Formulation for Magnetic Induction in Bounded Domains: Boundary Element–Finite Volume Method. Journal of Computational Physics. 2004;197(2):540–554. DOI: 10.1016/j.jcp.2003.12.008.
Balsara D. S., Spicer D. S. A Staggered Mesh Algorithm Using High Order Godunov Fluxes to Ensure Solenoidal Magnetic Fields in Magnetohydrodynamic Simulations. Journal of Computational Physics. 1999;149(2):270–292. DOI: 10.1006/jcph.1998.6153.
Yee K. Numerical Solution of Initial Boundary Value Problems Involving Maxwell’s Equations in Isotropic Media. IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1966;14(3):302–307. DOI: 10.1109/TAP.1966.1138693.
Evans C. R., Hawley J. F. Simulation of Magnetohydrodynamic Flows: A Constrained Transport Method. The Astrophysical Journal. 1988;332:659–677. DOI: 10.1086/166684.
Dedner A., Kemm F., Kroner D., Munz C.-D., Schnitzer T., Wesenberg M. Hyperbolic Divergence¨ Cleaning for the MHD Equations. Journal of Computational Physics. 2002;175:645–673. DOI: 10.1006/jcph.2001.6961.
Бычин И. В., Гореликов А. В., Ряховский А. В. Схема дискретизации уравнения индукции на смещенных сетках в ортогональных криволинейных координатах. Успехи кибернетики. 2022;3(2):60– 73. DOI: 10.51790/2712-9942-2022-3-2-8.
Versteeg H. K. An Introduction to Computational Fluid Dynamics. Harlow: Pearson Education Limited; 2007. 503 p.
Leonard B. P. A Stable and Accurate Convective Modelling Procedure Based on Quadratic Upstream Interpolation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1979;19(1):59–98. DOI: 10.1016/0045-7825(79)90034-3.
Бычин И. В., Гореликов А. В. Эффект усиления начального магнитного поля в модели геодинамо. Успехи кибернетики. 2025;6(1):76–83.
Бычин И. В., Гореликов А. В., Ряховский А. В. Численное исследование эволюции режимов гидромагнитного динамо во вращающемся сферическом слое при различных начальных условиях. Успехи кибернетики. 2023;4(3):19–30. DOI: 10.51790/2712-9942-2023-4-3-02.
Бычин И. В. Тестирование магнитогидродинамического кода на задачах естественной конвекции и геодинамо. Успехи кибернетики. 2021;2(1):6–13. DOI: 10.51790/2712-9942-2021-2-1-1.