О разрешимости задачи Коши с данными на боковой поверхности прямоугольника для одномерного параболического уравнения

Аннотация

Рассматривается одномерное параболическое уравнение в прямоугольнике (0,T)× (a,b), на одной из боковых сторон которого заданы данные Коши, а также задано условие Коши в начальный момент времени. Решение этой задачи ищется в пространстве Соболева. Построен класс данных, для которого решение задачи Коши с данными Коши на боковой поверхности прямоугольника существует и единственно. Класс является минимальным, т. е. условия гладкости на данные нельзя ослабить, они необходимы и достаточны для существования решений в данном классе Соболева. Решение является регулярным, это означает, что все производные, входящие в уравнение, принадлежат пространству L2. Задача сама по себе некорректна по Адамару. Математические модели такого типа возникают при описании процессов тепломассопереноса. Имеется большое количество работ, посвященных задачам такого типа, как в одномерном, так и в многомерном случае. В литературе основное внимание уделено численному решению задачи, поскольку она возникает во многих приложениях. Кроме того, известны теоремы единственности решений, оценки устойчивости решений и теоремы существования решений в классах Хольгрена. Мы немного уточняем последние результаты и получаем теорему существования решений в классах конечной гладкости.