Ключевые слова
трение Рэлея
точное решение
уравнения Навье–Стокса
пограничный слой
диссипация энергии
неоднородное течение
аналитическая гидродинамика
Как цитировать
Аннотация
для уравнений Навье–Стокса с линейным трением Рэлея построено новое точное решение. Оно описывает трехмерное стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале и обобщает классические течения Куэтта и Пуазейля. Продольная компонента скорости линейно зависит от одной поперечной координаты, а коэффициенты этой зависимости экспоненциально изменяются вдоль другой. На примере воды проведен численный анализ при различных значениях коэффициента трения Рэлея. Исследовано влияние параметра трения на толщину пристеночного слоя и на соотношение вязкой и рэлеевской диссипации энергии. Установлено, что при малых значениях коэффициента трения течение близко к классическим аналогам. При больших значениях формируются тонкие пограничные слои, а диссипация за счет трения Рэлея становится доминирующей. Полученное решение расширяет семейство точных решений гидродинамики и может применяться при моделировании течений в пористых средах, фильтрационных процессов, а также в задачах геофизической гидродинамики.
Литература
Drazin P. G., Riley N. The Navier–Stokes Equations: A Classification of Flows and Exact Solutions. Cambridge University Press; 2006.
Wang C. Y. Exact Solutions of the Steady-State Navier–Stokes Equations. Annual Review of Fluid Mechanics. 1991;23:159–177.
Галкин В. А., Смородинов А. Д., Моргун Д. А. Решение уравнения Навье–Стокса для сталкивающихся потоков. Успехи кибернетики. 2023;4(2):8–15. DOI: 10.51790/2712-9942-2023-4-2-01.
Галкин В. А., Дубовик А. О. Моделирование слоистого течения в неограниченном цилиндре с радиусом, изменяющимся во времени. Успехи кибернетики. 2022;3(4):14–23. DOI: 10.51790/2712-9942-2022-3-4-02.
Ershkov S. V., Prosviryakov E. Y., Burmasheva N. V., Christianto V. Towards Understanding the Algorithms for Solving the Navier–Stokes Equations. Fluid Dynamics Research. 2021;53(4):044501. DOI: 10.1088/1873-7005/ac10f0.
Rayleigh L. On the Dynamics of Revolving Fluids. Proceedings of the Royal Society of London. Series A. 1916;93(648):148–154.
Pedlosky J. Geophysical Fluid Dynamics. 2nd ed. Springer; 1987.
Gubareva K. V., Prosviryakov E. Yu., Eremin A. V. Inhomogeneous Couette–Poiseuille Flow of a Viscous Incompressible Fluid in an Infinite Horizontal Layer with Permeable Boundaries. Diagnostics, Resource and Mechanics of Materials and Structures. 2025;5:6–28. DOI: 10.17804/2410-9908.2025.5.006-028.
Gubareva K. V., Prosviryakov E. Yu., Eremin A. V. An Exact Solution with Inhomogeneous Boundary Conditions for a Steady Non-Uniform Couette Flow between Permeable Plates. Diagnostics, Resource and Mechanics of Materials and Structures. 2025;5:66–86. DOI: 10.17804/2410-9908.2025.5.066-086.
Ekman V. W. On the Influence of the Earth’s Rotation on Ocean-Currents. Arkiv f¨or Matematik, Astronomi och Fysik. 1905;2(11):1–53.
Dolzhansky F. V., Krymov V. A., Manin D. Y. Stability and Vortex Structures of Quasi-TwoDimensional Shear Flows. Physics-Uspekhi. 1990;33(7):495–520.
Burmasheva N., Ershkov S., Prosviryakov E., Leshchenko D. Exact Solutions of Navier–Stokes Equations for Quasi-Two-Dimensional Flows with Rayleigh Friction. Fluids. 2023;8(4):123. DOI: 10.3390/fluids8040123.
Berker R. Intégration des équations du mouvement d’un fluide visqueux incompressible. Strömungsmechanik II. Fluid Dynamics II. Series: Handbuch der Physik. Encyclopedia of Physics. Springer. 1963;3/8/2:1–384.
Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. Наука; 1978.
Aristov S. N. Eddy Currents in Thin Liquid Layers [dissertation]. Vladivostok: Institute of Automation and Control Processes; 1990.
Gubareva K. V., Prosviryakov E. Yu. Exact Analytical Solution to the Problem of Stationary Convection in the Boussinesq Approximation with Account for Viscous Dissipation. Diagnostics, Resource and Mechanics of Materials and Structures. 2025;6:23–38. DOI: 10.17804/2410-9908.2025.6.023-038.
Lin C. C. Note on a Class of Exact Solutions in Magneto-Hydrodynamics. Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1958;1:391–395.
Sidorov A. F. Two Classes of Solutions of the Fluid and Gas Mechanics Equations and Their Connection to Traveling Wave Theory. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 1989;30(2):197–203. DOI: 10.1007/BF00852164.
Baranovskii E. S., Burmasheva N. V., Prosviryakov E. Y. Exact Solutions to the Navier–Stokes Equations with Couple Stresses. Symmetry. 2021;13(8):1355. DOI: 10.3390/sym13081355.
Zubarev N. M., Prosviryakov E. Y. Exact Solutions for Layered Three-Dimensional Nonstationary Isobaric Flows of a Viscous Incompressible Fluid. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2019;60(6):1031–1037. DOI: 10.1134/S0021894419060075.
Meshalkin L. D., Sinai I. G. Investigation of the Stability of a Stationary Solution of a System of Equations for the Plane Movement of an Incompressible Viscous Liquid. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1961;25(6):1700–1705.
Ladyzhenskaya O. A. On Nonstationary Navier–Stokes Equations. Vestnik Leningradskogo Universiteta. 1958;19:9–18.
Obukhov A. M. Kolmogorov Flow and Laboratory Simulation of It. Russian Mathematical Surveys. 1983;38(4):113–126.
Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations. Chapman & Hall/CRC Press; 2004.
Boyd J. P. Chebyshev and Fourier Spectral Methods. 2nd ed. Dover Publications; 2001.
Titchmarsh E. C. Eigenfunction Expansions Associated with Second-Order Differential Equations. 2nd ed. Oxford University Press; 1962.
Batchelor G. K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press; 2000.
Schlichting H., Gersten K. Boundary-Layer Theory. 9th ed. Springer; 2017.
Gubareva K. V., Prosviryakov E. Yu. MATLAB Code for Inhomogeneous Couette–Poiseuille Flow with Rayleigh Friction and Permeable Boundaries. Mendeley Data, V1. 2026. DOI: 10.17632/dcgkct8j8v.1. Режим доступа: https://data.mendeley.com/datasets/dcgkct8j8v/1.
Sivashinsky G. I. Weak Turbulence in Periodic Flows. Physica D: Nonlinear Phenomena. 1985;17(2):243–255.